私たちは普段、パソコンや電卓を使って簡単な計算から複雑な数値の計算まで行っています。コンピュータは非常に高度な計算機で、膨大なデータを瞬時に処理することができます。しかし、そんなコンピュータでも実は「計算誤差」が発生することがあります。この記事では、コンピュータでなぜ計算誤差が生まれるのか、そして電卓との違い、さらに誤差を抑えるための方法について、わかりやすく解説します。
※ 本記事は筆者のアイデアを元に生成AIが自動作成したものです。必要に応じて追加の確認や調査を推奨します。
コンピュータで計算誤差が出る理由
数値を0と1で表現する
コンピュータは基本的に「ビット」と呼ばれる0と1の組み合わせで動いています。これを使って、すべての情報や数値が処理されているのです。整数を扱う場合は比較的単純ですが、小数になると少し事情が変わります。小数を正確に表現するのが難しく、ここで誤差が生まれる原因となります。
浮動小数点演算とは？
コンピュータが小数を計算する際に使う仕組みが「浮動小数点演算」です。これは数値を「仮数部」と「指数部」に分けて処理する方法です。この方式によって非常に大きな数や小さな数を扱えるようになります。しかし、すべての小数を正確に表現することができるわけではありません。
0.1が正確に表現できない理由
たとえば、十進数の「0.1」をコンピュータで扱おうとすると、二進数では「0.0001100110011…」という無限に続く数になります。コンピュータは限られたビット数でこの数を表現するため、どこかで打ち切り、正確な「0.1」ではなく「近い値」が使われることになります。これが、コンピュータにおける誤差の代表的な原因の一つです。
単精度と倍精度の違い
浮動小数点を扱う場合、コンピュータは**単精度（32ビット）または倍精度（64ビット）**という形式で数値を管理します。単精度は約7桁の精度、倍精度は約15桁の精度を持っていますが、どちらの形式でも完全に正確な結果が出せるわけではありません。計算が複雑になればなるほど、小さな誤差が積み重なる可能性があります。
電卓ではなぜ誤差が出にくいのか？
BCD方式とは？
電卓では、コンピュータとは異なる計算方式が採用されていることがあります。その一つが、BCD方式（Binary-Coded Decimal）です。BCD方式では、十進数の各桁を4ビットの二進数で表現し、計算を行います。例えば、数字の「5」は二進数では「0101」と表現されます。この方式では、コンピュータのように浮動小数点演算を行わず、十進数の桁を直接処理するため、正確な結果を得やすいという特徴があります。
高精度電卓の仕組み
ただし、科学電卓や高性能な電卓の中には、内部で浮動小数点演算を行っているものもあります。これらはコンピュータと同様に誤差が生じる可能性がありますが、非常に高精度な計算を行うため、日常的な使用ではほとんど誤差を感じることはありません。
なぜコンピュータではBCD方式を採用しないのか？
電卓で使われているBCD方式は誤差が出にくい一方で、コンピュータではあまり採用されていません。その理由はいくつかあります。
メモリと計算効率の問題
BCD方式では、各桁の十進数を4ビットで表現するため、1桁ごとに4ビットのメモリが必要です。一方、コンピュータが主に使っている浮動小数点方式では、数値全体を効率よくビットで管理することができ、非常に大きな数や小さな数を少ないメモリで扱うことができます。特に、膨大なデータを扱う科学計算やシミュレーションでは、計算の高速化やメモリの節約が非常に重要です。BCD方式は正確な計算には向いているものの、計算速度やメモリの効率が悪いため、大量の計算を行うには不適切です。
複雑な計算への対応
コンピュータは日常的な計算だけでなく、非常に複雑な科学計算や3Dシミュレーション、暗号計算なども行っています。浮動小数点演算は、非常に広い範囲の数値を効率的に扱うため、こうした高度な計算に適しています。BCD方式は精度の点では優れていますが、大規模かつ高精度な計算には対応しきれないため、コンピュータの主流な計算方式には適していないのです。
身近な例：エクセルで発生する計算誤差
エクセルでの浮動小数点誤差
私たちが日常的に使用するツールの中でも、計算誤差が生じる身近な例としてMicrosoft Excelがあります。エクセルもコンピュータ上で動作しているため、内部的には浮動小数点演算を使って計算を行っています。そのため、エクセルで簡単な数値計算を行ったとしても、特定の条件下ではわずかな誤差が発生することがあります。
例えば、「0.1」や「0.2」といった値を使った計算では、先ほど説明したように二進数でこれらの数値を正確に表現できないため、エクセルでも丸め誤差が生じることがあります。たとえば、エクセルで次のような計算を行う場合に誤差が見られることがあります。
例：=0.1 + 0.2 – 0.3
この計算の理論的な結果は「0」ですが、エクセルでは実際には非常に小さな値（例えば「5.55111512312578E-17」など）が返されることがあります。これは、エクセルが内部で浮動小数点を使って計算を行っているために発生する誤差です。
エクセルで誤差を回避する方法
エクセルでこのような誤差を回避するための方法としては、「ROUND関数」などを使って、計算結果を四捨五入して表示桁数を揃えることが一般的です。たとえば、上記の例では次のように記述することで、計算誤差を目に見えないようにすることができます。
例：=ROUND(0.1 + 0.2 – 0.3, 10)
このように、適切に丸めを行うことで、エクセル内での計算誤差を管理することができます。
計算誤差が問題になる場面
日常的な計算では、コンピュータの誤差が大きな問題になることはあまりありません。しかし、科学計算や金融取引、そしてシミュレーションなど、非常に高い精度を必要とする計算では、小さな誤差が大きな影響を及ぼすことがあります。
実際の例：湾岸戦争での誤作動
1991年の湾岸戦争では、アメリカ軍のパトリオットミサイルがイラク軍のミサイルを迎撃できないという事件がありました。この原因は、システム内の時間を管理する際に発生したわずかな誤差にありました。この誤差は、浮動小数点演算によるものが蓄積された結果であり、最終的には重大な結果を招きました。このように、些細な計算誤差が命運を左右するケースもあります。
計算誤差を抑える方法
任意精度演算とは？
通常の浮動小数点演算では、桁数に限りがあるため、どうしても誤差が発生します。しかし、任意精度演算という技術を使えば、この問題を解決できます。任意精度演算では、必要に応じて非常に多くの桁数で計算を行うことが可能です。この技術を利用すれば、誤差を極限まで減らすことができます。
区間演算で誤差を管理する
さらに、誤差を追跡し、計算過程でどの程度誤差が広がるかを管理する方法として区間演算という手法もあります。これにより、誤差の範囲を明確にし、計算結果に対する信頼性を高めることが可能です。
計算誤差を減らすための実践的なアプローチ
最後に、実際に誤差を減らすためにできることをいくつか紹介します。
- 誤差の見積もりを行う：計算にどの程度の誤差が含まれるか、事前に確認しておくことが重要です。特に複雑な計算では、誤差が蓄積しやすいため注意が必要です。
- 丸め処理を慎重に行う：計算の途中で頻繁に丸めると、誤差がどんどん大きくなります。可能であれば、計算がすべて終わってから丸め処理を行う方が、正確な結果を得やすくなります。
- 必要に応じて倍精度や任意精度を使用する：倍精度や任意精度の計算方式を使うことで、誤差を最小限に抑えることができます。特に高精度な結果が必要な場合には、これらの技術を活用しましょう。
